设f(x)在[0,1]上有连续的二阶导数,且f'(0)=f'(1)证明:存在ξ属于(0,1)使得∫(0->1)f(x)dx=[f(0)+f(1)]/2 5
证明:存在ξ属于(0,1)使得∫(0->1)f(x)dx=[f(0)+f(1)]/2+f"(ξ)/6...
证明:存在ξ属于(0,1)使得∫(0->1)f(x)dx=[f(0)+f(1)]/2+f"(ξ)/6
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分部积分,∫(0->1)f(x)dx=∫(0->1)d[f(x)(x-1/2)]-∫(0->1)f'(x)(x-1/2)dx=[f(0)+f(1)]/2-∫(0->1)f'(x)(x-1/2)dx=[f(0)+f(1)]/2-∫(0->1)d[f'(x)(x^2/2-x/2+1/4)]+∫(0->1)f''(x)(x^2/2-x/2+1/4)dx=[f(0)+f(1)]/2-0+∫(0->1)f''(x)(x^2/2-x/2+1/4)dx。由于∫(0->1)(x^2/2-x/2+1/4)dx=1/6,并且x^2/2-x/2+1/4>=0,0<=x<=1。所以,根据f''的连续性,存在ξ使得f"(ξ)/6=∫(0->1)f''(x)(x^2/2-x/2+1/4)dx。从而得证。其实这里的6可以换成大于0小于等于24的任意一个数。
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