Question

已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC. （1）若连接AM，则AM是否平分

已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD?请你证明你的结论；
（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.

Answer 1

延长DM，与AB的延长线交于G
∵∠B=∠C=90°
即∠C+∠B=180°
∴DC∥AG(AB)
∴∠CDM=∠MGB
∵M是BC的中点
∴CM=BM
在△CDM和△BGM中
CM=BM
∠CDM=∠MGB
∠DMC=∠BMG
∴△CDM≌△BGM
∴DM=MG
∵DM平分∠ADC
∴∠ADM=∠CDM
∴ADM=∠MGB=∠MGA
∴△ADG是等腰三角形
∴AD=AG
在△ADM和△AGM中
AD=AG
AM=AM
DM=MG
∴△ADM≌△AGM
∴∠DAM=∠MAG=∠MAG
即AM平分∠BAD
∴∠AMD=∠AMG
∵∠AMD+∠AMG=180°
∴∠DAM=∠AMG=90°
即DM⊥AM

追问

∴ADM=∠MGB=∠MGA ?

Answer 2

延长DM，与AB的延长线交于G
∵∠B=∠C=90°
即∠C+∠B=180°
∴DC∥AG(AB)
∴∠CDM=∠MGB
∵M是BC的中点
∴CM=BM
在△CDM和△BGM中
CM=BM
∠CDM=∠MGB
∠DMC=∠BMG
∴△CDM≌△BGM
∴DM=MG
∵DM平分∠ADC
∴∠ADM=∠CDM
∴ADM=∠MGB=∠MGA
∴△ADG是等腰三角形
∴AD=AG
在△ADM和△AGM中
AD=AG
AM=AM
DM=MG
∴△ADM≌△AGM
∴∠DAM=∠MAG=∠MAG
即AM平分∠BAD
∴∠AMD=∠AMG
∵∠AMD+∠AMG=180°
∴∠DAM=∠AMG=90°
即DM⊥AM

Answer 3

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