Question

已知一元二次方程x^2+px+q+1=0的一根为2

1.求q关于p的关系式
2.求证：抛物线y=x^2+px+q与x轴有两个交点
3.设抛物线y=x^2+px+q的顶点为M，且与x轴交与A（x1,0）B(x2,0)两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式
第三问的答案我看了，但是为什么AB=x2-x1=根号（（x1+x2）^2-4x1*x2)？

Answer 1

解：1.将根代入得2p+q+5=0
2.判别式=p^2-4q=p^2-4*(-5-2p)=p^2+8p+20=(p+4)^2+4>0,所以有两个交点
3.由韦达定理x1+x2=-p,x1*x2=q
AB=|x2-x1|=根号（（x2-x1）^2=根号（x1^2-2*x1*x2+x2^2)=根号（（x1+x2）^2-4x1*x2)
=根号（p^2-4q）
所以 M（-p/2,(4q-p^2)/4）
则三角形的高=(p^2-4q)/4
△AMB面积=1/2*(p^2-4q)/4*根号（p^2-4q）由1问知2p+q+5=0
所以△AMB面积S=1/8*（P^2+8P+20）^(3/2),
又S的导数=1/8*（3/2）*（P^2+8P+20）^(1/2)*(2p+8)>0恒成立,
使△AMB面积最小,即使二次函数P^2+8P+20=(p+4)^2+4最小时△AMB面积最小，
此时p=-4，由1问知2p+q+5=0，则q=3
所以解析式为y=x^2-4x+3

Answer 2

解：1.将根代入得2p+q+5=0
2.判别式=p^2-4q=p^2-4*(-5-2p)=p^2+8p+20=(p+4)^2+4>0,所以有两个交点
3.由韦达定理x1+x2=-p,x1*x2=q
AB=x2-x1=根号（（x1+x2）^2-4x1*x2)=根号（p^2-4q）
M（-p/2,(4q-p^2)/4）
三角形的高=(p^2-4q)/4
使△AMB面积最小,即使p^2-4q=(p+4)^2+4最小，此时p=-4，q=3
所以解析式为y=x^2-4x+3
希望能帮到你！