Question

已知函数f(x)=根号[mx^2+(m-3)x+1]的值域是[0，正无穷），则实数m的取值范围是？

Answer 1

令g(x)=mx^2+(m-3)x+1,那么根据已知，它的值域要包含[0,+无穷大)

1）如果m<0，开口向下，显然不会包含+∞，不符合要求

2）m=0，g(x)=-3x+1，显然复合要求

3）m>0
只要g(x)与x轴有交点就符合要求，那么：

(m-3)^2-4m≥0

m^2-10m+9≥0
m>0
那么0<m≤1，或者m≥9

所以m的取值范围是[0,1]∪[9,+∞）

Answer 2

函数f(x)=√[mx^2+(m-3)x+1]的值域是[0，正无穷），
说明：mx^2+(m-3)x+1能取到所有的非负数
当m=0时，f(x)=√(-3x+1)符合
当 m>0时，Δ＝(m-3)^2-4m=m^2-10m+9≥0
m ≥9 或 0<m≤1

综上：m的取值范围是[0,1]并[9, +无穷）