Question

不等式ax^2+bx+c＞0的解为α＜x＜β 求不等式cx^2+bx+a＞0的解集

Answer 1

答.第一种情况：c=0
1)b=0
则条件中的不等式解集为空，不符
2)b<0（或>0）
此时即为求不等式bx+a<0的解集
为x>-a/b（或<-a/b）
第二种情况：c不等于0
显然α,β均不为0（因为它们是方程ax^2+bx+c=0的两根）
注意到α,β为方程ax^2+bx+c=0的两根，
将方程变形为c*(1/x)^2+b*(1/x)+a=0
作代换t=1/x，则方程即为ct^2+bt+a=0（即与结论中的不等式形式一致）
t=1/α，t=1/β为其两根
1)当α,β同号（不管正还是负），由α<β均有1/α>1/β
A.
c<0时，所求解集在两根之外，即x<1/β或x>1/α
B.
c>0时，所求解集在两根之内，即1/β<x<1/α
2)当α,β异号时，由α<β有由α<0,β>0，从而1/α<1/β
A.
c<0时，同理知所求为x<1/α或x>1/β
B.
c>0时，所求为<1/α<x<1/β