证明：当0＜x＜π/2时，tanx＞x+x^3/3
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你学过导数了吧
令F(x)=tanx-x-x^3/3
则F'(x)=1+tan^2x-1-x^2=tan^2x-x^2
明显tanx>x,x∈(0,π/2)
所以F(x)>0,F(x)在(0,π/2)内单调递增
又F(0)=0,F(x)恒>0
所以tanx>x+x^3/3,得证
PS:如果你知道tanx的泰勒展开式:
tanx=x+x^3/3+2x^5/15+...
明显的x>0时，tanx>x+x^3/3
令F(x)=tanx-x-x^3/3
则F'(x)=1+tan^2x-1-x^2=tan^2x-x^2
明显tanx>x,x∈(0,π/2)
所以F(x)>0,F(x)在(0,π/2)内单调递增
又F(0)=0,F(x)恒>0
所以tanx>x+x^3/3,得证
PS:如果你知道tanx的泰勒展开式:
tanx=x+x^3/3+2x^5/15+...
明显的x>0时，tanx>x+x^3/3
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