Question

设0＜α＜β＜π/2，求证sinβ/sinα＜β/α

很神奇的证明题……大神们帮帮忙(*¯︶¯*)

Answer 1

由0＜α＜β＜π/2，要证sinβ/sinα＜β/α即证sinβ/β＜sinα/α.所以我们可以设出一个函数f(x)=sinx\x.对这个函数进行求导得:f'(X)=(xcosx-sinx)\x2.但是由已知条仍无法判断f'(x)的正负。我们再设出一个函数g(x)=xcosx-sinx,对它进行求导得:g'(x)=-xsinx.此函数在0<x<π/2时小于零，由此知道g(x)在定义域内单调递减，而g(0)<0,所以f'(x)<0.故f(x)单调递减。由0＜α＜β＜π/2知f(β)<f(α).从而结论成立