设a,b,c,是实数，求证：a²b²+b²c²+c²a²≥abc×（a+b+c）
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要证明不等式
a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c)
成立
即要证明不等式
a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)≥0
即
2[a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)]≥0
而
2[a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)]
=(a²b²+c²a²-2a²bc)+(a²b²+b²c²-2ab²c)+(b²c²+c²a²-2abc²)
=a²(b-c)²+b²(a-c)²+c²(a-b)²
≥0恒成立
所以不等式a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c)
成立
此题得证
a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c)
成立
即要证明不等式
a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)≥0
即
2[a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)]≥0
而
2[a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)]
=(a²b²+c²a²-2a²bc)+(a²b²+b²c²-2ab²c)+(b²c²+c²a²-2abc²)
=a²(b-c)²+b²(a-c)²+c²(a-b)²
≥0恒成立
所以不等式a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c)
成立
此题得证
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