己知a+b+c=0,求证:2(a的4次方+b的4次方+c的4次方)=(a的平方+b的平方+c的平方)的平方
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证明：
∵(a² +b²+c²) ²=a的4次方+b的4次方+c的4次方+2a²b²+2a²c²+2b²c² 式⑴
∵(a +b+c) ²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=0
∴(a² +b²+c²) ²=(-2ab-2ac-2bc ) ²
=4a²b²+4a²c²+4b²c²+8a²bc+8abc²+8ab²c=4a²b²+4a²c²+4b²c²++8abc(a+b+c)= 4a²b²+4a²c²+4b²c² 式⑵
由式⑴和式⑵得
a的4次方+b的4次方+c的4次方=2a²b²+2a²c²+2b²c²
∴2(a的4次方+b的4次方+c的4次方)= a的4次方+b的4次方+c的4次方+2a²b²+2a²c²+2b²c²=(a的平方+b的平方+c的平方)的平方
∵(a² +b²+c²) ²=a的4次方+b的4次方+c的4次方+2a²b²+2a²c²+2b²c² 式⑴
∵(a +b+c) ²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=0
∴(a² +b²+c²) ²=(-2ab-2ac-2bc ) ²
=4a²b²+4a²c²+4b²c²+8a²bc+8abc²+8ab²c=4a²b²+4a²c²+4b²c²++8abc(a+b+c)= 4a²b²+4a²c²+4b²c² 式⑵
由式⑴和式⑵得
a的4次方+b的4次方+c的4次方=2a²b²+2a²c²+2b²c²
∴2(a的4次方+b的4次方+c的4次方)= a的4次方+b的4次方+c的4次方+2a²b²+2a²c²+2b²c²=(a的平方+b的平方+c的平方)的平方
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