Question

设ΔABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且a▪cosC+(1/2)c=b 若a=1,求ΔABC的周长l的取值范围

Answer 1

因为a▪cosC+(1/2)c=b，所以2abcosC=2b^2-bc,
由余弦定理:c^2=a^2+b^2-2abcosC=a^2+b^2-(2b^2-bc)=a^2-b^2+bc
所以a^2=b^2+c^2-bc=b^2+c^2-2bccos60度,所以A=60度.
当a=1时,由正弦定理,b/sinB=c/sinC=1/sin60度=2/根号3,所以b=2/根号3*sinB,c=2/根号3*sinC
所以周长l=1+b+c=1+2/根号3*sinB+2/根号3*sinC=1+2/根号3(sin(120度-C)+sinC)
=1+2/根号3(根号3/2*cosC+1/2*sinC+sinC)
=1+2/根号3(根号3/2*cosC+3/2*sinC)=1+2(1/2*cosC+根号3/2*sinC)=1+2sin(30度+C)
可知C=60度,周长l=3最大,且1+2sin(30度+C)>1+2*1/2=2
周长l的取值范围为(2,3]

Answer 2

利用余弦定理将角换为边的关系; 由acosB－bcosA＝(3／5)c得到a*(a +c -b )/(2ac)-b*(b +c -a )/(2bc)=(3/5)c 化简即a -b =(3/5

追问

acosB－bcosA＝(3／5)c
哪来的？