Question

如图，圆O中，直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N，连AD

如图，圆O中，直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N，连AD

(1)求证AD=AN
(2)若AB=4√2,ON=1,求圆O的半径

Answer 1

(2) AB=4√2 , AE=2√2 ,
又ON=1 , 设NE=x , ,则OE=x-1 , NE=ED=x, r=OD=OE+ED=2x-1
连结AO,则AO=OD=2x-1 ,所以三角形AOE构成RT三角形
AE=2√2 , OE=x-1 , AO=2x-1. AE*AE+OE*OE=AO
x=2 , 则半径r = 2x-1 =3

Answer 2

1、证明：
∵AB⊥CD，AM⊥BC
∴∠AEC＝∠AED＝∠AMC＝90
∴∠NAE+∠ANE＝90, ∠BCD+∠CNM＝90
∵∠ANE＝∠CNM
∴∠NAE＝∠BCD
∵∠BCD、∠BAD所对应圆弧都是劣弧BD
∴∠BCD＝∠BAD
∴∠NAE＝∠BAD
∵AE＝AE
∴△ANE≌△ADE （AAS）
∴AD＝AN
2、解：设圆的半径为R
∵AB＝4√2, AB⊥CD
∴AE＝BE＝AB/2＝2√2
∵ON＝1
∴DN＝OD+ON＝R+1,CN＝OC-ON＝R-1
∵△ANE≌△ADE
∴NE＝DE＝DN/2＝（R+1）/2
∴CE＝CN+NE＝R-1+（R+1）/2＝（3R-1）/2
∵∠BCD＝∠BAD，∠CEB＝∠AED＝90
∴△AED∽△CEB
∴CE/BE＝AE/DE
∴[（3R-1）/2]/2√2＝2√2/[（R+1）/2]
∴3R²+2R-33＝0
（R-3）（3R+11）＝0
∴R1＝3,R2＝-11/3（舍去）

Answer 3

证明：﹙1﹚AB⊥CD,∠BAD+∠D=90°,AM⊥BC,∠C+∠CNM=90°,BD弧=BD弧，∠C=∠BAD,∴∠CNM=∠BAD,∴∠D=∠CNM=∠AND,∴AN=AD
﹙2﹚,连接AC,设OE=x，半径为r,则CE=r+x，ED=r-x,易知﹙r+x﹚﹙r-x﹚=8，﹙1﹚
由﹙1﹚知，E是DN的中点，∴DE=﹙r+1﹚／2,由题意易知△CBE∽△ADE,∴2√2／﹙r+x﹚=﹙r+1﹚／2／2√2，即﹙r+1﹚﹙r+x﹚=16﹙2﹚，
﹙2﹚／﹙1﹚得，r+1=2﹙r-x﹚，x=﹙r-1﹚／2，﹙3﹚，
把﹙3﹚代入﹙1﹚，得，﹙r-1﹚﹙r+1﹚=32，解得，r=√33.

追问

为什么别人用不同的算法算出来都是3而你不是？

追答

你以为哪个对呢

追问

3,因为我受到你们的启发，想出来了...

追答

最后一步错了，应是3r^2+2r-33=0，解得r=3或r=-11/3（舍去）

Answer 4

第一问
因为弧AC 所以角CBA=CDA
因为CD⊥弦AB
所以角NEA=90度
又因为AM⊥BC
所以角AMB=90度
又因为角MAB=角MAB
所以三角形ANE相似于三角形ABM
所以角AND=角ABC
又因为角CBA=角CDA
所以角AND=角CDA
所以AN=AD

追问

这我知道啊，麻烦做第二问...

追答

第2问我的方法就是解得时候有点麻烦~~~~
设od为x则DN为x+1 CD为2X
因为AD=AN
所以NE=ED
所以NE=ED=2分之x+1
又因为AB=4√2（根据垂经定理）
所以AE=BE=2√2
又因为根据第一问得角CBA=CDA
因为角CEB=AED
所以三角形CEB相似于三角形AED
所以DE:BE=AE:CE
也就是2分之x+1：2√2=2√2:2X-2分之x+1
解出来 应该是对的 至少我是这样认为的 毕竟水平有限……

追问

好吧，谢谢你啦...

Answer 5

(2) AB=4√2 , AE=2√2 ,
又ON=1 , 设NE=x , ,则OE=x-1 , NE=ED=x, r=OD=OE+ED=2x-1
连结AO,则AO=OD=2x-1 ,所以三角形AOE构成RT三角形
AE=2√2 , OE=x-1 , AO=2x-1. AE*AE+OE*OE=AO
x=2 , 则半径r = 2x-1 =3