Question

解析几何的问题？

Answer 1

设直线y=mx+1/2①的垂线为x=-my+n,②
代入x^2/2+y^2=1③得(-my+n)^2+2y^2=2,
整理得(m^2+2)y^2-2mny+n^2-2=0,
设②与③的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),y1≠y2,
△/4=（mn）^2-(m^2+2)(n^2-2)=2m^2-2n^2+4>0,
化简得m^2-n^2+2>0,④
(y1+y2)/2=mn/(m^2+2),
由②,(x1+x2)/2=-m^2n/(m^2+2)+n=2n/(m^2+2),
AB的中点C[2n/(m^2+2),mn/(m^2+2)]在对称轴①上，
所以mn/(m^2+2)=2mn/(m^2+2)+1/2,且C在椭圆内，
所以n=-(m^2+2)/(2m)，⑤C为(-1/m,-1/2),
于是1/(2m^2)+1/4<1,
1/m^2<3/2,
m^2>2/3。⑥
把⑤代入④，得m^2-(m^2+2)^2/(4m^2)+2>0,
两边都乘以4m^2,得3m^4+4m^2-4>0,
解得m^2>2/3,同⑥。
所以m>√6/3或m<-√6/3，为所求。