Question

已知数列{a n ），其中a 2 =6， a n+1 + a n -1 a n+1 - a n +1 =n（1）求a 1

已知数列{a n ），其中a 2 =6， a n+1 + a n -1 a n+1 - a n +1 =n（1）求a 1 、a 3 、a 4 ；（2）求数列{a n }通项公式；（3）设数列{b n }为等差数列，其中b n = a n n+c （c为不为零的常数），若S n =b 1 ... 已知数列{a n ），其中a 2 =6， a n+1 + a n -1 a n+1 - a n +1 =n（1）求a 1 、a 3 、a 4 ；（2）求数列{a n }通项公式；（3）设数列{b n }为等差数列，其中b n = a n n+c （c为不为零的常数），若S n =b 1 +b 2 +…+b n ，求 1 S 1 + 1 S 2 +…+ 1 S n ． 展开

Answer 1

（1）a
2
=6，
a
2
+
a
1
-1
a
2
-
a
1
+1
=1，
a
3
+
a
2
-1
a
3
-
a
2
+1
=2，
a
4
+
a
3
-1
a
4
-
a
3
+1
=3
得a
1
=1，a
3
=15，a
4
=28
（2）猜想a
n
=n（2n-1），下面用数学归纳法证明
①当n=1时，由已知，显然成立．
②假设当n=k（k≥1）时成立，即a
k
=k（2k-1）
则当n=k+1时，有
a
k+1
+
a
k
-1
a
k+1
-
a
k
+1
=k．所以（k-1）a
k+1
=（k+1）a
k
-k（k+1），
a
k+1
=（k+1）[2（k+1）-1]
即当n=k+1时也成立．所以a
n
=n（2n-1）成立
（3）因为{b
n
}为等差数列，所以2b
2
=b
1
+b
3
．
∴
2
a
2
2+c
=
a
1
1+c
+
a
3
3+c
，又a
1
=1，a
2
=6，a
3
=15，
∴
c=-
1
2
，∴
b
n
=
a
n
n-
1
2
=
n(2n-1)

1
2
(2n-1)
=2n．
故S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
，=n（n+1）
1
S
1
+
1
S
2
+…+
1
S
n
=[
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n+1)
]
=（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+…+（
1
n
-
1
n+1
）=1-
1
n+1
=
n
n+1