Question

求和S=1+3x+5x²+...+（2n-1）xⁿ－¹

Answer 1

系数等差，公比为x,典型的差比数列题型 这样的题型要用错位相减法。

数列的每一项的公比为x

所以同乘以x，得到

xsn= x+3x^2+5x^3+7x^4+...+(2n-3)*x^(n-1)+(2n-1)x^n ①

因为 sn=1+3x+5x^2+7x^3+9x^4+...+(2n-1)*x^(n-1) ②

②-①得,(1-x)Sn=1+2[x+x^2+x^3+x^4+.....+x^(n-1)]-(2n-1)x^n

(1-x)Sn=1+2[(x-x^n)/(1-x)]-(2n-1)x^n

(1-x)Sn=1+(2x-2x^n)/(1-x)-2nx^n+x^n

(1-x)Sn=1+(2x)/(1-x)-(2x^n)/(1-x)-2nx^n+x^n

(1-x)Sn=1+(2x)/(1-x)+{1-2n-[2/(1-x)}x^n

故：Sn={1+(2x)/(1-x)+{1-2n-[2/(1-x)}x^n}/(1-x)

Answer 2

S=(1+x+x^2+...+x^(n-1))+(2x+4x+...+2(n-1)x^(n-1))
=(x^n-1)/(x-1) + ((2x)^n -2x)/(2x-1)