Question

已知a,b是实常数，求函数y=(x-a)²+(x-b)²的最小值

①用a²+b²≥2ab得y≥2（x-a）（x-b）=2[x²-(a+b)x+ab] 当x=(a+b)/2时最小
最小-（a-b）²/2
②用a²+b²≥（a+b²/2 得（a-b）²/2 这是正确的 1 错在那里

Answer 1

y(x)=(x-a)²+(x-b)²
1)方法1：用导数求极值
y'(x)=2(x-a)+2(x-b)=2[2x-(a+b)]；y‘’(x)=4>0
令：y'(x)=0，解出：x*=(a+b)/2
使y(x*) 为最小值：y(x*)=(a-b)²/2
2）方法2：用二次函数配方法求极值
y(x)=2[x²-(a+b)x+(a²+b²)/2]
=2[x²-2(a+b)x/2+(a+b)²/4 +(a²+b²)/2-(a+b)²/4]
=2{[x-(a+b)/2]²+(a-b)²/4}
可见：x=(a+b)/2 使y(x)取最小值：(a-b)²/2.
3)方法3：利用不等式：A²+B²>=2AB同样可得正确结果，但得区分A,B的正负，对于A,B异号的
情况，不等式自然成立，此时应写成：
y=(x-a)²+(x-b)²>=2(x-a)(b-x)=-2[x²-(a+b)x+ab]=-2{[x-(a+b)/2]²+ab-(a+b)²/4}
当x=(a+b)/2时，y的最小值：为 -2ab+(a+b)²/2=(a-b)²/2
对于：A=B时，x=a=b y的最小值为0.

追问

谢谢 学哥
能不能给一下QQ

追答

不好意思，我没有QQ号，Email：king_zyx@163.com

Answer 2

①用a²+b²≥2ab得y≥2（x-a）（x-b）
1） 取等号的条件为x-a=x-b,但a与b不相等呢，
2） 还有符号问题x-a,x-b可能取负值，此时等号不可能成立
3）用均值定理，一边应该为定值，不能两边都是变量

②用a²+b²≥（a+b²/2 得（a-b）²/2 这是正确，
符合用均值的条件

追问

谢谢 你的回答非常棒 但楼下的更好一些 更全面

追答

随你了，我的回答是针对你的提问的，
本题是二次函数，最好的解决方法是
配方法。

追问

能不能留一下QQ 我要是现在选了你就不能要了

追答

478909514