Question

关于X的一元二次方程X^2+(M+3)X+M+1=0.若X1,X2是原方程的两根,且X1-X2的绝对值=2根号2,求M的值和方程两根

有过程的，谢谢

Answer 1

x1和x2是方程x²+(m+3)x+m+1=0的两个根
所以，由伟大定理得：x1+x2=-(m+3) x1x2=m+1
所以（x1+x2）²=(m+3)²
|x1-x2|=2√2 两边平方得
x1²+x2²-2x1x2=8
即（x1+x2）²-4x1x2=8
带入m得：(m+3)²-4（m+1）=8
解得：m=1 或 m=-3

当m=1时 方程为：x²+4x+2=0 解得x1=-2-√2 x2=-2+√2
当m=-3时 方程为：x²-2=0 解得 x1=√2 x2=-√2

Answer 2

因为|x1-x2|=2√2
所以（x1-x2)^2=(x1)^2-2x1x2+(x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1x2=8
首先判别式（M+3)^2-4(M+1)>0
由韦达定理
x1+x2=-(M+3)
x1x2=M+1
所以=[-(M+3)]^2-4(M+1)=8得
M=-3或M=1
当M=-3时，原方程为x^2-2=0得x1=√2,x2=-√2
当M=1时，原方程为x^2+4x+2=0得x1=-1-√2,x2=-1+√2

Answer 3

形如AX^2+BX+C=0(A不等于0)的二元一次方程，
在有根的情况下，满足X1+X2=-B/A, X1*X2=C/A
那么对于此题，有X1+X2=-(M+3), X1*X2=M+1
那么，X1-X2的绝对值 即等于 根号下.(X1+X2)^2-4X1*X2 ，
其值为 根号下（M+3)^2-4(M+1)= 根号下 M^2+2M+5
那么就有 M^2+2M+5=8
解得M=-3或者1
那么，M值就为 -3或者1

tips：
对于提供关于X1，X2的关系的式子（或者值），都是使用的这种方法（通过韦达定理解决）。