Question

怎么求复合函数的单调性﹙例题分析﹚详细。

Answer 1

【内外复合】

第一步，先确定原函数是由哪两个函数复合而成的；
第二步，分别考察那两个函数的单调性；
第三步，用“同增异减”下结论。

解题时，这种题目往往分两层，分开考虑。
若内层与外层函数有同样的单调性，则复合函数为增函数；
若内层与外层函数有相反的单调性，则复合函数为减函数。
例1：求f(x)=2^(x^2+2x+1)的单调性。
解：f(x)=2^u 外层函数
u=x^2+2x+1 内层函数
外层函数为增函数，所以只需考察内层函数的单调性：当x<-1时为减，当x>-1时为增
所以f(x)=2^(x^2+2x+1)当x>-1时为增，当x<-1时为减
例2：y=(1/3)^x^2-2x-3的单调区间
解：
这是复合函数，设t= x^2-2x-3,y=(1/3)^ t,
∵x^2-2x-3关于直线x=1对称,
∴t=x^2-2x-3的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(-∞,1] .
∵y=(1/3)^ t 是减函数，
根据复合函数“同增异减”的原则，可知：
原函数的单调减区间为[1,+∞),单调增区间为(-∞,1] .

例3：求函数log以2为底(x的平方-5X+6)的单调区间
【解】
先求定义域
x^2 -5x+6>0
x>3或者x<2.

再求括号内式子的单调性
u=x^2-5x+6=(x-5/2)^2-1/4，
对称轴是x=5/2,该二次函数在x>5/2时递增，在x<5/2时递减。
又因为log2(u)本身是增函数，
可知原函数在（负无穷，2）上递减，在（3，正无穷）上递增。

【加减复合】

在公共区间内：
增函数减减函数得增函数
减函数减增函数得减函数
增函数加增函数得增函数
增函数减增函数不能确定
减函数加减函数得减函数
减函数减减函数不能确定其增减性

追问

已知函数y＝√ax²－6ax＋a＋8的定义域是r，求实数a的取值范围，怎么做啊，求分析。其中尤其是当a＞0时，△为什么＜0，讲讲好吗，谢了。

追答

当a＞0时，要使ax²－6ax＋a＋8≥0恒成立，只需使ax²－6ax＋a＋8的最小值≥0即可。 二次函数ax^2+bx+c的最小值是(4ac-b^2)/(4a)=-△/(4a)即只需-△/(4a) ≥0即可，因为a＞0，所以△≤0.