Question

如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，E,F分别在AB，AC上，且∠EDF=60°

求△AEF的周长

Answer 1

证明：如图，在AC延长线上截取CM1=BM，
∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠DCM1=90°，
∵BD=CD，
∵在Rt△BDM和Rt△CDM1中，
BD=CD∠ABD=∠DCM1=90°CM1=BM
，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1（SAS），
得MD=M1D，∠MDB=∠M1DC，
∴∠MDM1=120°-∠MDB+∠M1DC=120°，
∴∠NDM1=60°，
∵MD=M1D，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=NM1，
故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2．

Answer 2

将△BED沿D点逆时针旋转，使BD与CD重合，∵∠EDF=60度，∠BDC=120度，∴∠FDB'=60度，ED=B'D，DF是公共边，易证△EDF≌△B'DF∴EF=FB'，此时只需要求AE+AB'的长度，∵B'C=BE，所以AE+AB'=2,所以△AEF的周长=2

Answer 3

△AEF的周长=2，

可以追问，比较费时