Question

高中数学，设A是实数集，且满足条件：若a∈A，a≠1，则1／1-a∈A，证明：

1）若2∈A，则A中比还有另外两个元素；（2）集合A不可能是单元素集；（3）集合A中至少有三个不同的元素。

Answer 1

1、因为2属于A，则1/(1-a)=2，得a=1/2，又因为a属于A，得1/(1-a)=1/2，得a=-1，再次代入1/(1-a)=-1，得a=2。所以A中有3个元素，分别为2、1/2、-1
2、若A为单元素集合，则1/(1-a)=a，该解得a=1/2正负根号3i/2，不为实数，所以假设不成立，A不是单元素集合。
3.设a∈A,a≠1，则1／（1－a）∈A ，
1／（1－a）∈A则1／[1－1/（1-a）]=（a-1）/a∈A，
a≠1，则a，1/（1-a），（a-1）/a互不相等，
所以非空集合A中至少有三个不同的元素

Answer 2

高中数学，设A是实数集，且满足条件：若a∈A，a≠1，则1／1-a∈A，证明：
1）若2∈A，则A中比还有另外两个元素；（2）集合A不可能是单元素集；（3）集合A中至少有三个不同的元素。

证明：由设A是实数集，且满足条件：若a∈A，a≠1，则1／1-a∈A，
（1）若2∈A，则1／（1－2）＝－1∈A，
同理
若－1∈A，则1／（1＋1）＝1／2∈A，
故A中比还有另外两个元素；－1，1／2；

（2）集合A不可能是单元素集；
由（1）知A中比还有另外两个元素；－1，1／2；
故（2）集合A不可能是单元素集；

（3）反证法：
假设集合A中只有三个不同的元素：2，1／2，－1．

由设A是实数集，且满足条件：若a∈A，a≠1，则1／1-a∈A，
得
若3∈A，则1／（1－3）＝－1／2∈A，
此和
假设集合A中只有三个不同的元素：2，1／2，－1．矛盾．
故
集合A中至少有三个不同的元素。

Answer 3

1）∵2∈A ∴1\（1-2）=-1∈A ∴1\（1-（-1））=1\2∈A 1\（1-1\2）=2∈A
∴A中还有另外两个元素为1\2、-1
2）若集合A是单元素集，则a=1／（1-a）无实数解，所以集合A不可能是单元素集
3）a≠1／（1-a） 1\（1-（1\（1-a）））=(a-1)\a 经检验（a-1)\a≠1／（1-a） ≠a
∴集合A中至少有三个不同的元素。