Question

已知一元二次方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一个根小于0，另一个根大于2，求实数a的取值范围

Answer 1

令 f(x)=x^2+(a^2-9)x+a^2-5a+6 ，
因为抛物线开口向上，所以只须
f(0)=a^2-5a+6<0 ，（1）
且 f(2)=4+2(a^2-9)+a^2-5a+6<0 ，（2）
解（1）得 2<a<3 ，解（2）得 -1<a<8/3 ，
取交集得 2<a<8/3 。

追问

对！就是这里！f(0)=a^2-5a+6<0 ，f(2)=4+2(a^2-9)+a^2-5a+6<0 为什么是要小于0啊，这样怎么就满足了条件一个根小于0，一个根大于2了啊？求详细解答！

追答

这是抛物线的性质。

因为 f(0)<0 ，f(2)<0 ，
就能保证 0<x<2 时 f(x)<0 ，
又由于抛物线开口向上，图形最终要与 x 轴相交，而这两个交点就在 0 与 2 的外侧。

Answer 2

令 f(x)=x^2+(a^2-9)x+a^2-5a+6 ，
因为抛物线开口向上，所以只须
f(0)=a^2-5a+6<0 ，（1）
且 f(2)=4+2(a^2-9)+a^2-5a+6<0 ，（2）
解（1）得 2<a<3 ，解（2）得 -1<a<8/3 ，
取交集得 2<a<8/3
又0<-(a^2-9)/2<2即5<a^2<9解得√5<a<3 故解集为√5<a<8/3