Question

如图三角形ABC中,AB=AC,角BAC=120度,AB的垂直平分线交BC于点D,垂足是E

如图三角形ABC中,AB=AC,角BAC=120度,AB的垂直平分线交BC于点D,垂足是E,若三角形ABC的周长为4+（2倍根号三）求三角形ABD周长。

Answer 1

解：∵ AC=AB
∴∠ B=∠ C
∵∠BAC=120度
∴∠ B= ∠C=30度
∵ DE垂直平分AB
∴AD=BD
∴∠DAE=∠B=30度
∵∠BAC=120度
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=90度
∴CD=2AD
设AD=a
CD=2a
∴BC=BD+DC=3a
AC=√(CD²-AD²)=√3a
∴三角形ABC的周长=2√3a+3a=4+2√3
∴a=2√3/3
三角形ABD周长=2a+√3a=4√3/3+2

Answer 2

∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
∵DE⊥AB，且平分AB
∴BD=AD
AE=BE
∴BE=BD×cos30°=√3/2BD
∴AB=2BE=√3BD
做AM⊥BC于M,那么AB+BM=(AB+BC+AC)/2=2+√3
∴∠DAM=∠BAD-∠BAD=60°-30°=30°
∴DM=1/2AD=1/2BD
∴AB+BM
=AB+BD+DM
=√3BD+BD+1/2BD
=(2√3+3)/2BD
∴(2√3+3)/2BD=2+√3
BD=2(2+√3)/(2√3+3)
∴AB+BD+AD
=AB+2BD
=√3BD+2BD
=(2+√3)BD
=(2+√3)×2(2+√3)/(2√3+3)
=2+4√3/3