Question

如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-4 27 x2+22 3 交于点A（3，6）． （1）求直线y=kx的解析式和线段OA的

如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-4/27x²+22/3交于点A（3，6）．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

Answer 1

解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；
∵6=3k，
∴k=2，
∴y=2x．
OA=3倍根号5
（2）QM分之QN是一个定值，理由如下：
如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时QN分之QM=QG分之QH=OH分之QH=tan角AOM=2
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH
不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN，
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN…
∴QN分之QM=QG分之QH=OH分之QH=tan角AOM=2
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得QM分之QN=2．①①
（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R
∵∠AOD=∠BAE，
∴AF=OF，
∴OC=AC=2分之1OA=2分之3根号5
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC，
∴OC分之OF=OR分之AO=3分之3倍根号5=根号5
∴OF=2分之3根号5乘以根号5=2分之15
∴点F（2分之15，0），
设点B（x，-4分之27x的平方+3分之22），
过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，
∴FR分之BK=AR分之AK
即7.5-3分之x-3=6分之6-（-4分之27x的平方+3分之22）
解得x1=6，x2=3（舍去），
∴点B（6，2），
∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，
∴AB=5
（求AB也可采用下面的方法）
设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（2分之15，0）代入得
k=-3分之4，b=10，
∴y=-3分之4x+10
∴{y=-3分之4x+10
{y=-4分之27x的平方+3分之22
∴{x1=3 {x2=6
{y1=6（舍去） {y2=2
∴B（6，2），
∴AB=5…

在△ABE与△OED中
∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，
∴∠ABE=∠DEO，
∵∠BAE=∠EOD，
∴△ABE∽△OED．…
设OE=x，则AE=3倍根号5﹣x （0<x<3倍根号5），
由△ABE∽△OED得AB分之AE=OE分之OD
∴5分之3倍根号5-x=x分之π
∴m=5分之1x（3倍根号5-x）=-5分之1x的平方+5分之3根号5（0<x<3倍根号5）
∴顶点为（2分之3根号5，4分之9）
如答图3，当m=4分之9时，OE=x=2分之3根号5，此时E点有1个；
当0<m<4分之9时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．
∴当m=4分之9时，E点只有1个…
当0<m<4分之9时，E点有2个…
打得很辛苦的。。请采纳