Question

已知各项均为正数的数列{an}满足a1=3,且(2a(n+1)-an)/(2an-a(n+1))=ana(n+1),求数列{an}的通项公式

Answer 1

[2a(n+1)-an]/[2an-a(n+1)]=ana(n+1)
2an²a(n+1)-ana(n+1)²=2a(n+1)-an
2an²a(n+1)-2a(n+1)=ana(n+1)²-an
2a(n+1)(an²-1)=an[a(n+1)²-1]
[a(n+1)²-1]/a(n+1)=2(an²-1)/an
{[a(n+1)²-1]/a(n+1)}/[(an²-1)/an]=2，为定值。
(a1² -1)/a1=(3²-1)/3=8/3
数列{(an²-1)/an}是以8/3为首项，2为公比的等比数列。
(an² -1)/an=(8/3)×2^(n-1)
an²-(8/3)×2^(n-1)an -1=0
an>0
an={(8/3)×2^(n-1) +√[[(8/3)×2^(n-1)]²+4]}/2
后面不写了，你自己化简就可以了。

追问

an²-(8/3)×2^(n-1)an -1=0
an>0
这步：an={(8/3)×2^(n-1) +√[[(8/3)×2^(n-1)]²+4]}/2
怎么求的？不懂啊

追答

剩下的就简单了，就是一个一元二次方程，用求根公式算。

Answer 2

先化简
[2a(n+1)-an]/[2an-a(n+1)]=ana(n+1)
2an²a(n+1)-ana(n+1)²=2a(n+1)-an
2an²a(n+1)-2a(n+1)=ana(n+1)²-an
2a(n+1)(an²-1)=an[a(n+1)²-1]
[a(n+1)²-1]/a(n+1)=2(an²-1)/an
{[a(n+1)²-1]/a(n+1)}/[(an²-1)/an]=2，为定值。
(a1² -1)/a1=(3²-1)/3=8/3
因此 数列{(an²-1)/an}是以8/3为首项，2为公比的等比数列。
(an² -1)/an=(8/3)×2^(n-1)
an²-(8/3)×2^(n-1)an -1=0
an>0
an={(8/3)×2^(n-1) +√[[(8/3)×2^(n-1)]²+4]}/2
an=2^(n+1)/3+√(2^n/3+1)

Answer 3

2a(n+1)-an=ana(n+1) * (2an-a(n+1))
2a(n+1)-an=2an ^2 a(n+1)-an*a(n+1)^2
2a(n+1)*(1+an*a(n+1))=an*(an*a(n+1)+1)
[2a(n+1)-an]*(an*a(n+1)+1)=0
由于an全为正。所以只能是an=2a（n+1）
an为等比数列 a1=3 q=1/2
an=3*（1/2)^(n-1)