Question

如图甲所示,点O为△ABC的内角∠ABC和∠ACB的平分线的交点。

①试探究∠ABC与∠A有何关系
②若点O为∠ABC的内角平分线与外角平分线的交点如图乙所示，此时∠BOC与∠A又有何种关系？使用图证明你的猜想;
③若点O是∠ABC和∠ACB的外角平分线的交点，如图丙所示，试猜想∠BOC与∠A的关系

Answer 1

：（1）∠BOC=1 /2 ∠A+90．
∵如图∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+1/ 2 ∠ABC+1 /2 ∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=1/ 2 ∠A+90°；
（2）∠BOC=1 /2 ∠A．
∵∠A+∠ABC=∠ACE．
∵∠OBC+∠BOC=∠OCE，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∵∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，
由以上各式可推得∠BOC=1 /2 ∠A．
(3)
则∠OBC=1 /2 ∠EAB=1 /2 （180°-∠ABC）=90°-1 /2 ∠ABC，
∠BCO=1 /2 ∠BCF=90°-1 /2 ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=180°-1/ 2 （∠ABC+∠ACB）
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°+1 /2 ∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°+1 /2 ∠A）=90°-1/ 2 ∠A．

Answer 2

①∠ABC与∠A好像一点关系没有。
②∠A=2∠BOC
证：∠A+∠ABC+∠ACB=180
∠BOC+∠OBC+∠OCB=108
等价于：∠BOC+1/2*∠ABC+∠ACB+1/2*(180-∠ACB)=180
即：2∠BOC+∠ABC+∠ACB=180
可得 ∠A=2∠BOC
③同理可证，一模一样，你可以自己试着推一下，要是实在弄不出来，q我：563885934

追问

第一错了，是∠BOC,
可以把第三题写出来吗，我提高悬赏，我的分还多得很

追答

好吧，我可不是冲你的悬赏来的……
①∠A+∠ABC+∠ACB=180
∠BOC+∠OBC+∠OCB=180
等价于：∠BOC+1/2*（∠ABC+∠ACB）=180
等价于：2∠BOC-∠A=180

③∠A+∠ABC+∠ACB=180
∠BOC+∠OBC+∠OCB=180
等价于：∠BOC+1/2*（180-∠ABC）+1/2*(180-∠ACB)=180
等价于：2∠BOC=∠ABC+∠ACB
可得 ∠A+2∠BOC=180