Question

问一道高中数学关于归纳法的题，麻烦好心的各位朋友们帮帮忙看下~ 谢谢啦~

第一个是：证明：在平面n个圆最多把平面分成n²-n+2个区域。
解：一个圆将平面分成2，而当n=1时，n²-n+2=2。因此结论当n=1时成立。
假设当n=k时，结论成立，即k个园最多把平面分成k²-k+2个区域。在次基础上增加一圆，为使区域最多，应使新增的园与前k个园都交于两点，于是新增2k个交点，这2k个交点将新园分成2k段弧，这2k段弧将所经过的区域一分为二，因此新增2k个区域。这样k+1个圆最多把平面分成(k²-k+2)+2k=(k+1)² - (k+1) +2 个区域，可见结论当n=k+1时成立。

请问各位这里的“这2k个交点将新园分成2k段弧，这2k段弧将所经过的区域一分为二”是什么意思(尤其是后半句)，另外此题刻画的区域的概念是什么？比方说，平面内有两个圆，即n=2 。那也不是4-2+2=2个区域啊？

我太想知道这个答案啦，但问的问题太多，手里实在是没分了。非常感谢各位………………

Answer 1

这题我不太懂，但平面内有两个圆若相交不就3部分，加俩个圆的外部，就是4部分
即n=2 。4-2+2=4

追问

你好，谢谢你的回答，但我还是有些疑问，如果把平面记作P，两个圆分别记作a，b ，相交的区域记作c，那么第一个区域是a，第二个是b，第三个是c，第四个是圆a、b的并集在平面P中的补集，第五个是c在a中的补集，第六个是c在b中的补集。也就是说有两个在a，b中的区域是被刻画两次的，但并不是一样。所以我就纠结在这了，是不是区域的概念我搞错了，还是真的可以分成6个区域呢？

追答

第1个就是是c在a中的补集，第2个是c在b中的补集。没有第五 第六 也没有区域a，b

Answer 2

从一个圆到两个圆最好想，新增加的那个圆与原来的圆有两个交点，那个新增加的那个圆处于第一个圆中的弧将第一个圆分为两个部分，外面的弧将第一个圆外面的部分分为两个部分，就是说每增加一段弧，就会多一个部分，就是一分为二，后面的仔细想想就可以了。而且，4-2+2=4，你激动个什么....

追问

你好，谢谢你的回答，但我还是有些疑问，如果把平面记作P，两个圆分别记作a，b ，相交的区域记作c，那么第一个区域是a，第二个是b，第三个是c，第四个是圆a、b的并集在平面P中的补集，第五个是c在a中的补集，第六个是c在b中的补集。也就是说有两个在a，b中的区域是被刻画两次的，但并不是一样。所以我就纠结在这了，是不是区域的概念我搞错了，还是真的可以分成6个区域呢？