Question

已知实数X,y,z满足3^x=4^y=6^z>1

1）求证2／x+1／y=2/z
2)试比较3x,4y,6z的大小？

Answer 1

1)

设3^x=4^y=6^z=A
则x=log3 a y=log4 a z=log6 a
左边=2／x+1／y=2／log3 a+1／log4 a=2loga 3+ loga 4=loga 9+ loga 4=loga 36
右边=2/z=2/log6 a=2loga 6=loga 36
左边=右边
2）因为3^x=4^y=6^z>1
所以x,y,z>0 ,3x,4y,6z>0

3x=3log3 a=3/loga 3
4y=4log4 a=4/loga 4
6z=6log6 a=6/loga 6

3x/4y=(3/loga 3)/(4/loga 4)=(3/4)*(loga 4/loga 3)=(3/4)*(log3 4)=log3 [(4)^(3/4)]=log3 (根号8)
因为根号8<3
所以3x/4y=log3 (根号8)<log3 3=1
又因为3x,4y>0.所以3x<4y

同理可得3x<4y<6Z

Answer 2

解：（1）令3^x=4^y=6^z=t,t>1
则有x=lnt/ln3,y=lnt/ln4,z=lnt/ln6
2/x+1/y=2ln3/lnt+ln4/lnt=ln36/lnt
2/z=2ln6/lnt=ln36/lnt
所以2／x+1／y=2/z
（2）3x=3lnt/ln3=lnt/(ln3^(1/3))
,4y=4lnt/ln4=lnt/(ln2^(1/2))
,6z=6lnt/ln6=lnt/(ln6^(1/6))
而3^(1/3)>2^(1/2)>6^(1/6)
所以ln3^(1/3)>ln2^(1/2)>ln6^(1/6)
所以3x<4y<6z