Question

如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF垂直AD于F,且BC=CD,若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长

Answer 1

解：依题意，可证
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB，设DF=EB=X
∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，
CE=CF，AC=AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF=AE
即：AD+DF=AB-BE
∵AB=21，AD=9，DF=EB=x
∴9+x=21-x解得，x=6
在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10
∴CF=8
∴Rt△AFC中，AC^2=CF^2+AF^2=8^2+（9+6）^2=289
∴AC=17
答：AC的长为17．

Answer 2

解：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB CF⊥AD，
∴CE=CF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）；

（2）全等．
理由如下：在Rt△BCE和Rt△DCF中，BC=CDCE=CF，
所以，Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；

（3）在Rt△ACE中，∵AC=10，CE=6，
∴AE=AC2-CE2=102-62=8，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，AC=ACCE=CF，
∴Rt△ACE和Rt△ACF（HL），
∴AF=AE，
又∵AD=5，
∴DF=AF-AD=8-5=3；

（4）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴BE=DF，
∵Rt△ACE和Rt△ACF，
∴AE=AF，
∵AB=21，AD=9，
∴AD+DF=AB-BE，
即9+BE=21-BE，
解得BE=6，
在Rt△BCE中，CE=BC2-BE2=102-62=8，
又∵AE=AB-BE=21-6=15，
∴在Rt△ACE中，AC=AE2+CE2=152+82=17．