Question

高中数学恒成立问题

1.若m^2-2bm+1≥0，对m∈［-1,1］恒成立，求b的取值范围。
2.若m^2-2bm+1≥0，对b∈［-1,1］恒成立，求m的取值范围。
恒成立问题什么时候用参变分离比较好，什么时候用分情况讨论比较好？
分情况讨论后的答案什么时候用∪，什么时候用∩?

Answer 1

分离参数就是把变量分出来，比如第一个对于m∈［-1,1］，那么就把m看成变量，如果不习惯，就干脆看成对x∈［-1,1］，f(x)=x^2-2bx+1≥0恒成立。这样就可以利用数形结合的思想，画出二次函数图象，这样分类讨论，若b<-1,则只需满足f(-1)≥0。若-1<=b<=1,满足f(b)>=0,若b>=1，只需满足f(1)>=0。然后列出式子，求出并集，记住只能是并集，因为是分类讨论的。
第二个则把b看成变量，这样f(x)=-2mx+m^2+1,x∈［-1,1］,这样就变成了一次函数那么就分类讨论m大于零还是小于零还是等于零的情况，画出函数图象，数形结合，我就不多说了，很容易的，自己多思考思考，会有收获的，谢谢

追问

b＜-1时，f（-1）=1+2b+1≥0，b≥-1 ， 无解
-1≤b≤1时，f(b)=b^2-2b^2+1≥0，b≥1或b≤-1 ， b=1或b=-1
b＞1时，f（1）=1-2b+1≥0，b≤1 ， 无解
综上：b=1或b=-1

如果用参变分离：2bm≤m^2 +1
m∈（0,1］,2b≤（m^2+1)/m,b≤1
m=0,0≤1，b∈R
m∈［-1,0），2b≥（m^2+1)/m，b≥1
综上：b∈R

Answer 2

1、若m^2-2bm+1≥0，对m∈［-1,1］恒成立，求b的取值范围。
这道题是关于m的二次的问题，m为主元，b是参数
等价于求二次式m^2-2bm+1在［-1,1］上的最小值，最小值要满足≥0
当然用分离参数的方法也成，m^2+1≥2bm ，在不定式两边同除以m ，但是在这个步骤需要讨论m的符号，因为会影响不等号的方向。
2.若m^2-2bm+1≥0，对b∈［-1,1］恒成立，求m的取值范围
此题与上题比较久可以看出来，这是关于b的一次的问题，b为主元，m是参数
等价于求一次式-2m*b+（1+m^2）在［-1,1］上的最小值，最小值要满足≥0
这个一次问题就简单多了

你提到的2种方法，没有绝对的说法，重要的是要灵活处理。方法是死的，人是活的
最后1个疑问的最佳解决办法是检验

追问

在上面这个不等式中，是不是如果给出m的范围，那m为主元，b是参数
如果给出b的范围，那b为主元，m是参数？
在1中二次式m^2-2bm+1在［-1,1］上的最小值该怎么求呢？
如果用参数分离的方法，在讨论到m=0时，b∈R，如果答案用∪，就是b∈R，就错了
如果用∩，可分情况讨论时不是用∪吗？

追答

你的第一个说的是对的

第2 个疑问，问怎么求二次式m^2-2bm+1在m∈［-1,1］上的最小值
那就是高中数学里面典型的问题了：二次函数定区间动轴问题
讨论区间与对称轴的位置关系。
然后根据数形结合下结论。

Answer 3

1.分离变量，m^2+1≥2bm
m>0, m/2+1/2m≥b 1 ≥b
m=0,恒成立
m<0,b≥m/2+1/2m, b≥-1

Answer 4

-1和1

Answer 5

b：【—1,1】
m:【R】
我都不怎么记得咯