Question

已知点A、B、C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)

1.若向量AC*向量BC=-1，求sin（α+π/4）得值
2.O为原点，若| 向量OA-向量OC |=根号13，且α属于（0，π），求向量OB与向量OC的夹角.

Answer 1

1.向量AC=(cosa-3,sina),BC=(cosa,sina-3),
AC*BC=cosa(cosa-3)+sina(sina-3)=1-3(cosa+sina)=1-3√2sin(a+π/4)=-1,
∴sin(a+π/4)=√2/3.
2.向量OA-OC=CA,依题意
(cosa-3)^2+(sina)^2=13,
10-6cosa=13,
cosa=-1/2,a∈（0，π），
∴a=2π/3，
∠XOB=π/2，
∴∠BOC=2π/3-π/2=π/6.

Answer 2

1.AC*BC = -1.(cosα - 3)*cosα + sinα*(sinα - 3) = -1,化简得sinα + cosα = 2/3,根据辅助角公式，即有√2sin(α+π/4) = 2/3,所以sin(α+π/4) = √2/3
2.(cosα - 3)^2 + sin^2α = 13 化简得cosα = -1/2,又α属于(0,π),所以α = 2π/3，所以C(-1/2,√3/2)
OB=(0,3),OC = (-1/2,√3/2) ,因为向量OB在X轴上，所以夹角为2π/3