Question

已知函数f(x)=e^x-kx(x属于R)

(1)若k=e，试确定函数f(x)的单调区间
(2)若k>O且对任意x属干R，f(|x|)>O恒成立，求k的范围

Answer 1

k=e
f(x)=e^x-ex
f'(x)=e^x-e
由f'(x)>0，e^x>e ,==> x>1
由 f'(x)<0 ， e^x<e ==> x<1
∴f(x)递增区间为(1,+∞)
递减区间为(-∞,1)

（2）
f(|x|)是偶函数，图像关于y轴对称
只需研究x≥0时f(x)>0恒成立即可
x≥0时，f(x)=e^x-kx>0恒成立
x=0时，f(0)=1>0符合题意
x>0时，e^x-kx>0即k<e^x/x
设g(x)=e^x/x,只需k<g(x)min
g'(x)=(xe^x-e^x)/x²=e^x(x-1)/x²
0<x<1时，g'(x)<0,g(x)递减
x>1时，g'(x)>0,g(x)递增
∴g(x)min=g(1)=e
∴k<e
∴符合条件的k的范围是(-∞,e)

Answer 2

f(|x|)是偶函数，图像关于y轴对称
只需研究x≥0时f(x)>0恒成立即可
x≥0时，f(x)=e^x-kx>0恒成立
x=0时，f(0)=1>0符合题意
x>0时，e^x-kx>0即k<e^x/x
设g(x)=e^x/x,只需k<g(x)min
g'(x)=(xe^x-e^x)/x²=e^x(x-1)/x²
0<x<1时，g'(x)<0,g(x)递减
x>1时，g'(x)>0,g(x)递增
∴g(x)min=g(1)=e
∴k<e
∴符合条件的k的范围是(-∞,e)

Answer 3

第一问求导吧