Question

求解高一抽象函数单调性判断的一个问题？

画横线前面的式子是怎么推成这个式子的？求解

Answer 1

题目中给的条件和画横线前面的式子类型一样，具体看图解

Answer 2

首先，我们根据给定条件进行推导。

• 证明 f(0) = 1：
  由于对于任意 x ∈ R，恒有 f(x) ≠ 0，我们考虑 f(0) = f(0 + 0) = f(0) * f(0) * f(0)。
  根据已知条件，f(0) ≠ 0，则 f(0) * f(0) ≠ 0。又因为对于任意非零实数 a，a * a ≠ 0。
  因此，我们可以得出 f(0) = 1。

• 证明对于任意 x ∈ R，恒有 f(x) > 0：
  由已知条件，当 x > 0 时，0 < f(x) < 1。我们来考虑 x < 0 的情况。
  将 x 表示为 x = -y，其中 y > 0。那么我们有 f(x) = f(-y) = f(0 - y) = f(0) * f(-y) * f(0)。
  根据已证明的结论 f(0) = 1，因此 f(x) = f(-y) = f(0 - y) = 1 * f(-y) * 1 = f(-y) > 0。
  因此，对于任意实数 x，我们都有 f(x) > 0。

• 证明 f(x) 在 R 上是减函数：
  我们要证明对于任意 x1, x2 ∈ R，当 x1 < x2 时，有 f(x2) < f(x1)。
  考虑 x = x2 - x1，我们有 x > 0。根据已知条件，我们可以得出 f(x) > 0。
  同时，我们可以将 f(x2) 表示为 f(x1 + x) = f(x1) * f(x) * f(x1)。
  由于 f(x1) > 0，f(x) > 0，根据乘积的性质，我们可以得出 f(x2) < f(x1)。
  因此，f(x) 在 R 上是减函数。

综上所述，根据已知条件和推导，我们可以得出以下结论：

• f(0) = 1；

• 对于任意实数 x，f(x) > 0；

• 函数 f(x) 在 R 上是减函数。