Question

∫(y^2+xe^(2y))dx+(x^2e^(2y)+1)dy,C是沿第一象限的半圆弧(x-2)^2+y^2=4,由点O(0,0)到点A(4,0)的一段弧

P=y^2+xe^(2y))，对y求导=2y+2xe^(2y)
Q=x^2e^(2y)+1,对x求导数=2xe^(2y)
I=∮闭环 -∫(y=0)
=∫∫(-2y)dxdy-∫[4,0]xdx
=-2∫∫ydxdy+8
=-4∫[π/2,0]sinada∫[0,2]dr+8
=8+8=16
正确答案是56/3
求正确解题步骤

Answer 1

∫[C](y^2+xe^(2y))dx+(x^2e^(2y)+1)dy
P=y^2+xe^(2y)，
∂P/∂y=2y+2xe^(2y,
Q=x^2e^(2y)+1,
∂Q/∂x=2xe^(2y),
∂Q/∂x-∂P/∂y=-2y,
补充画一条从（0，0）至A（4，0）直线，则形成一个封闭图形，
根据格林公式，正方向的左边始终是封闭曲线内，反时针方向为正，而题目是顺时针方向，故积分号前应加负号，
路径是半圆，在X轴上半部，y=√[4-(x-2)^2]=√（4x-x^2),
0≤y≤√（4x-x^2),
0≤x≤4,
转成极坐标，0≤r≤4cosθ，
0≤θ≤π/2，
-∮[C]Pdx+Qdy=-∫[D]∫（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy
=∫[D]∫（2y)dxdy
=2∫[0，4]dx∫[0，√（4x-x^2)] ydy
=2∫[0，4]dx(y^2/2)[[0，√（4x-x^2)]
=∫[0，4]（4x-x^2)dx
=(2x^2-x^3/3)[0,4]
=32-64/3
=32/3,
若用极坐标，
∫[D]∫（2y)dxdy
=2∫[0，π/2]d θ ∫[0，4 cosθ]rsinθ rdr
=(2/3)∫[0，π/2] (64cosθ）^3 sinθd θ
=-（128/3）∫[0，π/2] （cosθ）^3d(cosθ）
=-（128/3）（cosθ)^4/4[0，π/2]
=-(32/3)(0-1)
=32/3,与上结果相同，
再加上从（0，0）至（4，0）路径，原是顺时针，现是反时针，故互相抵销，只剩半圆弧，
OA方程为：y=0,(0≤x≤4),
原积分式变为：∫[0，4]xdx=（x^2/2)[0,4]=8,
∴原式=32/3+8=56/3。