Question

一道几何题，请数学高手进。如果一个长方形被一条直线分成了面积相等的两部分

如果一个长方形被一条直线分成了面积相等的两部分，证明：这条直线一定过长方形的中心。

Answer 1

证明：设这个长方形为ABCD
（1）若这条截线经过长方形的相邻两条边（不含端点）,设截AB，AC于E，F，连接BC
三角形ABC的面积为长方形的面积的一半，而三角形AEF的面积小于三角形ABC，不存在符合题意的三角形AEF。
（2）若这条截线经过长方形的相对两条边（不含端点）,设截AB，CD于E，F，
则四边形ADFE的面积为：1/2（AE+DF）*AD
四边BEFC的面积为：1/2（BE+CF）*BC，
又因为四边形ADFE的面积等于四边BEFC的面积，AD=BC
所以AE+DF=BE+CF
又因为AE+EB=DF+FC
所以AE=FC，连接AC交EF于O，
易证三角形AOE全等于三角形COF，
所以AO=OC，所以O为长方形的中心，所以截线EF过长方形的几何中心。
（3）若截线过长方形的两个端点，则该截线为长方形的对角线，结论成立。
终上所述，这条直线一定要通过长方形的中心。

Answer 2

是