Question

平面直角坐标系题目

如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y＝k/x（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．

（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）如图2，P点坐标为（2，－3），在反比例函数y＝的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

不知道为何没用到“将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上这个条件”。
(1)设E点坐标为（K/3,3），F点坐标为（K/4,4).
∵S△OEC=EC×OA/2=（12-K)/2=S△OFC=CF×OA/2=（12-K)/2
又S△OAC=S△OBC
∴S△OAE=S△OBC

(2)设EF与OC交与O',作EM,FN垂直AC交与MN两点
S△OEC=S△OFC→EM=FN→△O'EM≌△O'FN→O'为EF的中点
又O'在OC（y=3x/4)上
既(3+4)/2=3(K/3+K/4)/8,解得K=16

(3)假设存在MN，使得OPMN为矩形。
设MN坐标分别为（X1，16/X1),(X2，16/X2)
那么OP，MN中点重合。
则有(X1+X2)/2=1
(16/X1+16/X2)/2=-3/2
带入得3X1²-6X1-32=0
△>0存在解，可解得答案。

Answer 2

（1）很简单的，在反比例函数上，过反比例函数上的一点与两坐标轴平行的直线和两坐标轴围成的矩形的面积是K（反比例函数的常数），三角形是矩形的一半，即K/2