Question

设 f(x)是奇函数,对任意的实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y) 且当x大于0时,f(x)小于0则 f(x)在区间[a,b]上( )

Answer 1

对任意的
x1<x2
令{x+y=x1,
{y=x2,
则x=x1-x2,且(x1-x2)<0 -(x1-x2)>0
将
{x+y=x1,
{y=x2

代入原式得：
f(x1)=f(x1-x2)+f(x2) f(x1)-f(x2)=f(x1-x2) ①,
因为f(x)是奇函数，所以 f[-(x1-x2)]= - f(x1-x2)再公式反过来得
f(x1-x2)= - f(x2-x1) 而(x2-x1)>0 ， 由已知条件得f(x2-x1)<0,所以 - f(x2-x1)>0,
即①中的f(x1-x2)>0
所以f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)在R上是减函数，减函数左端点值最大与选项B匹配
注奇函数这个条件一定用到题目中去，如果发现题给条件没有用上，证明肯定是有问题的。

Answer 2

设：x1>x2，则：x1－x2>0，即：f(x1－x2)<0
f(x1)－f(x2)
=f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)
=[f(x1－x2)＋f(x2)]－f(x2)
=f(x1－x2)<0
即：f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)是递减的，则本题应该选【B】

追问

原题里有一个条件说它是奇函数，没有用么？

追答

这里的奇函数，主要是保持这个函数在定义域内的单调性一致的。
要是偶函数的话，那在x>0时的单调性与x<0时的单调性是不一样的，而奇函数则是两边都是一样的。

Answer 3

B