Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=1/2Sn.

当bn=log3/2<3an+1>,求证数列{1/bnbn+1}的前n项和Tn=n/1+n

Answer 1

∵a(n+1)=1/2Sn.
∴n≥2时，an=1/2S(n-1)
∴a(n+1)-an=1/2[Sn-S(n-1)]=1/2an
∴a(n+1)=3/2an
∴a(n+1)/an=3/2
∵a1=1,∴a2=1/2*S1=1/2
∴{an}从第二项开始为等比数列，公比为3/2
∴an={1 ,（n=1)
{1/2*(3/2)^(n-2), (n≥2)
∴a(n+1)=1/2*(3/2)^(n-1)
3a(n+1)=3/2*(3/2)^(n-1)=(3/2)^n
∴bn=log(3/2) (3/2)^n=n
∴Tn=1/(b1b2)+1/(b2b3)+..........+1/(bnb(n+1))
=1/(1*2)+1/(2*3)+..........+1/[n(n+1)]
=1-1/2+1/2-1/3+.........+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1）
=n/(n+1)

追问

问一下 3a(n+1)=3/2*(3/2)^(n-1)=(3/2)^n

觉得应该是3a(n+1)=3/2*(3/2)^(n+1-1)=(3/2)^（n+1）吧。。。

下标 是n+1呐。。

追答

1,1/2,3/4,9/8,...........
第二项起为等比数列
∵n≥2时，an=1/2*(3/2)^(n-2)
∴a(n+1)=1/2*(3/2)^(n-1)
两边乘以3
∴3a(n+1)=3/2*(3/2)^(n-1)=（3/2)^n