Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15．（Ⅰ

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an?bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ））∵a_n+1=2S_n+1（n≥1，n∈N^*），∴a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*），…2分
又a₁=1，a₂=2a₁+1=3，
∴a₂=3a₁，∴a_n+1=3a_n（n∈N^*）．
∵a₁=1，∴数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴a_n=3^n-1（n∈N^*）…4分
∵b₁+b₂+b₃=15，∴b₂=5，又d=2，∴b₁=b₂-d=3，…6分
∴b_n=3+2（n-1）=2n+1…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T_n=3×1+5×3+7×3²+…+（2n-1）×3^n-2+（2n+1）×3^n-1，①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ，②
∴①-②得：-2T_n=3×1+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n+1）×3ⁿ
=3+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）×3ⁿ
=3+2×

3(1?3n?1)

1?3

-（2n+1）×3ⁿ…10分
=-2n?3ⁿ…11分
∴T_n=n?3ⁿ（n∈N^*）…12分