Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+c,其中a属于N*,b属于N,c属于Z;(1)b>2a,且f(sina)(a属于R)的最大值为2，最小值为-4，

;(1)b>2a,且f(sina)(a属于R)的最大值为2，最小值为-4，求f(x)最小值;(2)若对任意实数x,不等式4x<=f(x)<=2(x^2+1)且存在x使得f(x)<2(x^2+1)成立，求c

Answer 1

1）a属于N*，为正整数，因此f(x)的开口向上。b>2a>0, 则对称轴x=-b/(2a)<-1,
因此f(sina)的最小值为f(-1)=a-b+c=-4 , 当sina=-1时取得
f(sina)的最大值为f(1)=a+b+c=2，当sina=1时即得
两式相加得：c=-1-a
两式相减得：b=3
由a<b/2=1.5得：a=1,
故c=-1-1=-2
f(x)=x^2+3x-2
f(x)的最小值为f(-b/(2a))=c-b^2/(4a)=-2-9/4=-17/4
2）
f(x)<=2(x^2+1)恒成立，即(a-2)x^2+bx+c-2<=0恒成立,
需a-2<0, 得:a<2, 故a=1
判别式=b^2-4(a-2)(c-2)=b^2+4(c-2)<=0, 得：c<=-b^2/4+2
f(x)>=4x恒成立，即ax^2+(b-4)x+c>=0, 恒成立,
判别式=(b-4)^2-4ac=(b-4)^2-4c<=0, 得：c>=(b-4)^2/4
因此有(b-4)^2/4=<c<=-b^2/4+2
即(b-4)^2/4<=-b^2/4+2
化为：b^2-4b+4<=0
(b-2)^2<=0
得：b=2
因此有1=<c<=1
故有c=1