Question

△ABC中，BD,CE是△ABC的高，在BD上取一点P，使BP=AC；在CE的延长线上取一点Q，是CQ=AB.连接AQ与AP.

（1）△ABP和△QCA是否全等？
（2）请你猜想一下AQ与AP的大小关系和位置关系，并说出你的理由。
大哥大姐们帮帮忙啊，图就将就一下了，帮帮忙啊

Answer 1

）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°（垂直定义），
∴∠ABD=∠ACE（等量代换），
又∵BP=AC，CQ=AB（已知），
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP=AQ（全等三角形对应边相等）．

（2）由（1）可得∠CAQ=∠P（全等三角形对应角相等），
∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CAQ+∠CAP=90°（等量代换），即∠QAP=90°，
∴AP⊥AQ（垂直定义）．

Answer 2

1）全等 根据边角边 应该没问题吧？
2）相等且互相垂直。全等之后得出AP=AQ,角AQC=角BAP，易得角QAP=90度。

Answer 3

证明：（1）∵bd,ce是△abc的高（已知），
∴∠abd+∠bac=90°，∠ace+∠bac=90°，
∴∠abd=∠ace（等量代换），
又∵bp=ac，cq=ab（已知），
∴△abp≌△qca（sas），
∴ap=aq（全等三角形对应边相等）．
（2）∴∠caq=∠p（全等三角形对应角相等），
∵bd⊥ac，即∠p+∠cap=90°，
∴∠caq+∠cap=90°（等量代换），即∠qap=90°，
∴ap⊥aq（垂直定义）．

Answer 4

证明：（1）∵bd,ce是△abc的高（已知），
∴∠abd+∠bac=90°，∠ace+∠bac=90°，
∴∠abd=∠ace（等量代换），
又∵bp=ac，cq=ab（已知），
∴△abp≌△qca（sas），
∴ap=aq（全等三角形对应边相等）．
（2）∴∠caq=∠p（全等三角形对应角相等），
∵bd⊥ac，即∠p+∠cap=90°，
∴∠caq+∠cap=90°（等量代换），即∠qap=90°，
∴ap⊥aq（垂直定义）．

Answer 5

∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°
∴∠ABD=∠ACE
又∵BP=AC，CQ=AB
∴△ABP≌△QCA
∴AP=AQ
∠APB=∠QAC
∵∠APB是△APD的一个外角
∴∠APB=∠PAD+∠ADP
=∠PAD+90
∴∠APB-∠PAD=90
∴∠QAC-∠PAD=90
∴∠QAP=90
∴AQ⊥AP