Question

在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点,求证:AB=PC.

不要用正弦定理解的

Answer 1

解：连接AP并延长交与BC于点E，使得BE=DE，连接CD。

∵BP与CP为三角形角平分线

∴AP也是三角形角平分线

∴∠BAP=∠CAP=40°

又∵∠ACB=40°

∴∠CAP=∠ACB

∴AE=CE

∠AEB=∠DEC（对顶角相等）

BE=DE

∴△ABE≌CDE(SAS)

∴∠ABC=∠CDE=60°  AB=CD

又∵CP为角平分线

∴∠PCE=20°

又∠AEC=∠ABC+∠BAE=60°+40°=100°

∴∠CPE=60°

因此△DCP为等边三角形

∴CP=CD

∴AB=PC

追问

BP与CP为三角形角平分线
∴AP也是三角形角平分线

是定理吗？

追答

是性质 三角形的角平分线相交于一点 且这个点叫做三角形内心以后会学的。

Answer 2

图画的不好，别见怪）由于P为∠ABC和∠ACB角平分线的交点，所以p为△ABC内接圆的圆心，令内接圆的半径为r，根据内接圆的性质，∠2=40°，所以
AB=BE+AE=r/tan30°+r/tan40°，
PC=r/sin20°，
要证AB=PC，即要证r/tan30° + r/tan40° = r/sin20°, 即要使
1/tan30° + 1/tan40° =cos30°/sin30° + cos40°/sin40°，
通分后可得：sin(30° + 40°）/(sin30° sin40°），
sin70°=cos20°，sin40°=2 sin20° cos20°，sin30°=1/2,
化简可得：sin70°/（sin30° sin40°）=1/sin20°，
所以r/tan30°+r/tan40°=r/sin20°，
所以AB=PC得证

Answer 3

∠A=80°∠C=40°，∠PBC=30°，∠P=130°
由正弦定理，AB/sin∠C = BC/sin∠A ，所以
AB=(BC*sin∠C) / sin∠A = (BC*sin40°) / sin80°=BC/(2cos40°)
同理，PC/sin∠PBC = BC/sin∠P ，所以
PC=(BC*sin∠PBC ) / sin∠P =(BC*sin30°) / sin130°=(BC*1/2) / sin(90°+40°)
=(BC*1/2) / cos40°=BC/(2cos40°)
所以 AB=PC

追问

不要用正弦定理解的

Answer 4

运用三角函数做 ，还有正弦定理（在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 　　a/sinA=b/sinB=c/sinC），以下用a表示BC的长度。
∠A=80°∠C=40°，∠PBC=1/2∠B=30°，∠P=130°
由正弦定理，AB/sin∠C = BC/sin∠A ，所以
AB=(a*sin∠C) / sin∠A = (a*sin40°) / sin80°=a/(2cos40°)
同理，PC/sin∠PBC = BC/sin∠P ，所以
PC=(a*sin∠PBC ) / sin∠P =(a*sin30°) / sin130°=(a*1/2) / sin(90°+40°)
=(a*1/2) / cos40°=a/(2cos40°)
所以 AB=PC

追问

不要用正弦定理解的