Question

【高一数学】已知正整数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2√Sn=an+1

求数列{an}的通项公式

Answer 1

解：
由2√Sn＝an＋1
令n＝1，得
2√S1＝2√a1＝a1＋1
解得a1＝1

2√Sn＝an＋1
两边平方，得
4Sn＝(an＋1)^2
当n≥2时，
4S(n－1)＝[a(n－1)＋1]^2
两式相减，得
4Sn－4S(n－1)＝(an＋1)^2－[a(n－1)＋1]^2
即4an＝(an)^2＋2an＋1－[a(n－1)＋1]^2
0＝(an－1)^2－[a(n－1)＋1]^2
[(an－1)＋a(n－1)＋1]•[(an－1)－[a(n－1)＋1]]＝0
∵数列{an}为正数数列
∴(an－1)－[a(n－1)＋1]＝0
即an－a(n－1)＝2
∴数列{an}是以首项a1＝1，公差d＝2的等差数列
故an＝1＋(n－1)•2＝2n－1

Answer 2

2√Sn=an+1
所以4Sn=(an+1)^2=an^2+2an+1
4S(n-1)=a(n-1)^2+2a(n-1)+1
相减4an=(an^2+2an+1)-[a(n-1)^2+2a(n-1)+1]
整理(an-1)^2=[a(n-1)+1]^2
开方an-1=a(n-1)+1 因为an>=1
2√a1=a1+1
所以a1=1
所以为正奇数列an=2n-1