Question

已知x√1-y2 +y√1-x2=1,求x+y的最大值和最小值

Answer 1

x＋y的最大值是√2，最小值是1。　证明如下：

显然，x、y不能同时取0，或同为负数，否则由给定的条件容易得出：1＝0，或1＝负数。
一、当x、y中有一者为0时，不失一般性地设y＝0，则：x＞0。
　　由给定的条件容易得出：x＝1。
　　此时，x＋y＝1。

二、当x、y都是正数时
∵x√（1－y^2）＋y√（1－x^2）＝1，　∴［x√（1－y^2）＋y√（1－x^2）］^2＝1。

由柯西不等式，有：
［x√（1－y^2）＋y√（1－x^2）］^2≦（x^2＋y^2）［（1－y^2）＋（1－x^2）］，
∴（x^2＋y^2）［（1－y^2）＋（1－x^2）］≧1，
∴（x^2＋y^2）（2－x^2－y^2）≧1。······①

∵（x^2＋y^2）（2－x^2－y^2）≧1，　∴x^2＋y^2＞0、且2－x^2－y^2＞0。
由均值不等式，有：（x^2＋y^2）＋（2－x^2－y^2）≧2√［（x^2＋y^2）（2－x^2－y^2）］，
∴2≧2√［（x^2＋y^2）（2－x^2－y^2）］，　∴1≧√［（x^2＋y^2）（2－x^2－y^2）］，
∴1≧（x^2＋y^2）（2－x^2－y^2）。······②

由①、②，得：（x^2＋y^2）（2－x^2－y^2）＝1，　∴①、②都需要取等号。
1、要使①取等号，需要：x/√（1－y^2）＝y/√（1－x^2），
　　∴x^2（1－x^2）＝y^2（1－y^2），　∴x^2－x^4＝y^2－y^4，　∴x^2－y^2＝x^4－y^4，
　　∴x^2－y^2＝（x^2＋y^2）（x^2－y^2），　∴（x^2－y^2）（x^2＋y^2－1）＝0，
　　∴x^2＝y^2，或x^2＋y^2＝1。······③
2、要使·②取等号，需要：x^2＋y^2＝2－x^2－y^2，　∴x^2＋y^2＝1。······④

由③、④，得：x^2＋y^2＝1。
∵x、y都是正数，　∴x^2＋y^2≧2xy，　∴2xy≦1，　∴x^2＋2xy＋y^2≦2，
∴（x＋y）^2≦2，　∴x＋y≦√2。
∴x＋y的最大值是√2。

假设当x、y同为正数时，有：x＋y＜1，则：x^2＋y^2＋2xy＜1，而x^2＋y^2＝1，
∴2xy＜0。这自然与x、y同为正数相矛盾。
∴不存在x、y同为正数时出现x＋y＜1的情况。

综上所述，得：x＋y的最大值是√2，最小值是1。

Answer 2

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