Question

设函数f(x)=x-1/x,对任意x∈[1,∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数M的取值范围是？

我先证明这是奇函数。 然后因为f（-x）=-f（x）。 又因为f（x）在第一象限单调递增。所以 -f（x）恒小于f（x）。即mf（x）＜f（-mx）。解得m=-1. （负无穷到 -1）满足。 这样想可以么。。。我真不知道怎么做这种题了，不知道一开始怎么想。

Answer 1

直接算呗。
f(mx)+mf(x)=mx-1/mx +mx-m/x=2mx-(m+ 1/m)/x<0,
[2mx²- (m²+1)/m]/x<0对x∈[1,∞)恒成立，
就是二次函数g(x)=2mx²- (m²+1)/m在x∈[1,∞)上恒小于0，而图像对称轴在Y轴上。
若m>0,则g(x)开口向上，不满足。
若m<0，则g(x)开口向下，且顶点- (m²+1)/m>0,要求g(1)<0,
代入得2m- (m²+1)/m<0,所以2m²- m²-1>0,解得m<-1,
综合上面两种情况得m<-1