Question

设a为实数,求函数f(x)=x^2-|x-a|+1,x∈R

1当a=0时，写出单调区间 2讨论f（x）的奇偶性 3讨论f（x）的最值 详细过程

Answer 1

1 当x>=0时，f(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4，x=1/2为对称轴，x∈[0,1/2)为单调减区间，x∈(1/2,+∞)为单调增区间；
当x<0时，f(x)=x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4，x=-1/2为对称轴，x∈(-∞,-1/2)为单调减区间，x∈(-1/2,0)为单调增区间；
2.f(-x)=(-x)^2-|-x-a|+1=x^2-|x+a|+1,f(-x)既不等于f(x),也不等于-f(x)，所以为非奇非偶函数。
3.当x>=a时，f(x)=x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+a+3/4，开口向上，当x=1/2时，f(x)取得最小值a+3/4；
当x<a时，f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2+3/4-a，开口向上，当x=-1/2时，f(x)取得最小值3/4-a。

Answer 2

（I）根据偶函数的定义建立恒等式f（-x）=f（x）在R上恒成立，从而求出a的值即可；
（II）利用反证法进行证明，先假设存在实数a，使函数f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）在R上恒成立，求出f（0）=0，但无论a取何实数，f（0）=|a|+1＞0，与f（0）=0矛盾．从而矛盾说明，假设是错误的，最后肯定结论．

解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）2+|-x-a|+1=x2+|x-a|+1，
化简整理，得ax=0在R上恒成立，（3分）
∴a=0．（5分）
（Ⅱ）证明：用反证法．假设存在实数a，使函数f（x）是奇函数，
则f（-x）=-f（x）在R上恒成立，∴f（0）=-f（0），∴f（0）=0，
但无论a取何实数，f（0）=|a|+1＞0，与f（0）=0矛盾．
矛盾说明，假设是错误的，所以无论a取任何实数，函数f（x）不可能是奇函数．