Question

如图，在RT三角形ABC中，角C=90度，角A=30度，AC=8，点D在斜边AB上。分别作DE垂直AC，DF垂直分别为点E，F

得四边形DECF，设DE=X，DF=Y
（1）求Y关于X的函数关系式，并求出X的取值范围：
（2）设四边形DECF的面积为S，求出关于X的函数关系式，并求出S的最大值

Answer 1

∵DE⊥AC即∠DEC=90°
DF⊥BC即∠DFC=90°
∠ACB=∠ECF=90°
∴四边形DECF是矩形
∴EC=DF=Y DE∥BC
∴AE=AC-EC=8-Y
∵∠A=30°
∴AB=2BC
∴BC²+AC²=AB²
BC²+8²=4BC²
BC=16√3/3
∵DE∥BC
∴DE/BC=AE/AC
X/(16√3/3)=(8-Y)/8
Y=8-(√3/2)X
2、S
=XY
=X(8-√3/2X)
=8X-(4√3)X²
=4√3(2√3/3X-X²)
=-4√3[X²-2√3/3X+(√3/3)²]+4√3×(√3/3)²
=-4√3[X-1/3)²+4√3/3
当X=1/3时，S值最大=4√3/3
关于X的函数关系式：S=8X-(4√3)X²