Question

对于函数f（x），若f（x）＝x，则称x为f（x）的“不动点”；f［f（x）］＝x，则称x为f（x）的“稳定点”

对于函数f（x），若f（x）＝x，则称x为f（x）的“不动点”；f［f（x）］＝x，则称x为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝｛x| f（x）＝x｝，B＝｛x| f［f（x）］＝x｝．
⑴求证：A含于B
⑵若f（x）＝ax²－1（a∈R，x∈R），且A＝B≠Φ，求a的取值范围

Answer 1

1）设t为A中任一个元素，则有：f(t)=t
因此f(f(t))=f(t)=t, 故t也必为B中的元素。
因此A包含于B
2）由f(x)=x, 得：ax^2-1=x, 此方程有实根，故delta=1+4a>=0, 得：a>=-1/4
由f(f(x))=x, 得：a(ax^2-1)^2-1=x, 为方便，令t=ax^2-1, 则方程化为：
at^2-1-x=0
at^2-atx+atx-ax^2+ax^2-1-x=0
at(t-x)+ax(t-x)+t-x=0
(t-x)(at+ax+1)=0
由于A=B，因此at+ax+1=0无实根，或其实根与t-x=0的根相同。
a(ax^2-1)+ax+1=0, 无实根，即a^2x^2+ax-a+1=0, 无实根
a=0时符合，a<>0时，须delta=a^2-4a^2(-a+1)<0, 得：a<3/4
a^2x^2+ax-a+1=0与ax^2-x-1=0的根相同，则方程的系数成比例，不符。
综合得：-1/4=<a<3/4