Question

如图，三角形ABD、三角形ACE、三角形BCF分别是以三角形ABC的边AB、AC、BC为边的等边三角形。

求证：四边形ADFE是平行四边形

Answer 1

证明：
∵等边△ABD，等边△BCF，等边△ACE
∴AD＝AB，BC＝CF，AE＝CE，∠ABD＝∠FBC＝∠FCB＝∠ACE＝60
∵∠BCD＝∠ABD-∠ABF，∠ABC＝∠FBC-∠ABF
∴∠BCD＝∠ABC
∴△ABC≌△DBF （SAS）
∴DF＝AC
∴DF＝AE
∵∠ACB＝∠FCB+∠ACF，∠ECF＝∠ACE+∠ACF
∴∠ACB＝∠ECF
∴△ABC≌△ECF （SAS）
∴CE＝AB
∴CE＝AD
∴平行四边形ADFE （两组对边相等）

Answer 2

证明：
在△BDF与△BAC中
BD=BA
∠DBF=∠ABC=60-∠FBA
BF=BC
∴△BDF≌△BAC
∴DF=AC=AE
同理可证△BCA≌△FCE
∴EF=BA=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
说明：证明时用到了角度间的等量叠加性

Answer 3

如图，∵∠DBA=∠FBC=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
又∵DB=AB，FB=CB，
∴△DBF≌△ABC，
∴DF=AC，
又∵AC=AE，
∴DE=AE；
∵∠ACE=∠BCF=60°，
∴∠FCE=∠BCA,
又∵AC=AE，BC=FC，
∴△ABC≌△EFC，
∴AB=EF，
又∵AB=AD，
∴AD=EF