Question

设{an}满足:a1=1,a2=5/3,an+2=5/3an+1-2/3an(n=1,2,......),令bn=an+1-an,求{an}的通项公式

Answer 1

由an+2=5/3an+1-2/3an
可得an+2-an+1=2/3an+1-2/3an
∴bn+1=2bn/3
即：bn+1/bn=2/3
∴｛bn}是公比为2/3的等比数列
∵b1=a2-a1=2/3
∴bn=(2/3)^n
设Sn为｛bn}前n项和
则：Sn=2[1-(2/3)^n]=a2-a1+a3-a2+a4-a3……+an+1-an=an+1-a1=an+1-1
∴an+1=2[1-(2/3)^n]+1
∴an=2[1-(2/3)^(n-1)]+1
∴an=3-2(2/3)^(n-1)

Answer 2

解析，
a(n+2)=5/3*a(n+1)-2/3*an
a(n+2)-a(n+1)=2/3*[a(n+1)-an]
因此，an-a(n-1)是等比数列，公比是2/3，首项为，a2-a1=2/3
故，an-a(n-1)=(2/3)^(n-1)
a2-a1=2/3
a3-a2=(2/3)²
a4-a3=(2/3)³
……
an-a(n-1)=(2/3)^(n-1)
左边相加，右边相加
得，an-a1=2/3+(2/3)²+……+(2/3)^(n-1)=2-3*(2/3)^n
an=3-3*(2/3)^n。【n≥2】
又，a1=1，代人成立，
故，an=
an=3-3*(2/3)^n。【n∈N*】