Question

求一函数值域，请看图

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Answer 1

解：
求函数y＝(x^2－2x＋3)/(x^2＋2x＋3)的值域
根判别式法
x^2y＋2xy＋3y＝x^2－2x＋3
(y－1)x^2＋(2y＋2)x＋3y－3＝0
则方程在实数内必有解
当y＝1时，4x＝0，x＝0，符合题意；
当y≠1时，Δ＝(2y＋2)^2－4(y－1)(3y－3)≥0
即4(y＋1)^2－12(y－1)^2≥0
y^2－4y＋1≤0
解得2－√3≤y≤2＋√3且y≠1
综上，函数y＝(x^2－2x＋3)/(x^2＋2x＋3)的值域为[2－√3，2＋√3].

Answer 2

这个式子如下
y=(x^2+2x+3-4x)/(x^2+2x+3)
=1-4x/(x^2+2x+3)
=1-4/(x+x/3+2)
当x>0时
x+3/x≥2√3
1-4/(2+2√3)≤y<1
1-2/(1+√3)≤y<1
2-√3≤y<1

当x<0时
x+3/x≤-2√3
1<y≤1-4/(2-2√3)
1<y≤1-2/(1-√3)
1<y≤2+√3
所以值域[2-√3,1)并(1,2+√3]