Question

若函数f(x)=x/(x^2+a)(a>0)在[1,+无穷)上的最大值为（根号3）/3,则a的值

若函数f(x)=x/(x^2+a)(a>0)在[1,+无穷)上的最大值为（根号3）/3,则a的值

Answer 1

解：f(x)=1/(x+a/x)
当0<a<=1时，x+a/x>=2√a 当且仅当x=a/x即x=√a时，等号成立。则此时当x=1时，x+a/x取得最小值为1+a则f(x)取得最大值为1/(1+a) 故1/(1+a)=√3/3 解得a=√3-1 成立
同理知，当a>1时，当x=√a时，，x+a/x取得最小值为2√a 则f(x)取得最大值为1/2√a 故1/2√a =√3/3 解得a=3/4 不成立
综上所述，a=√3-1

追问

为什么要分 a>1 和 0≤a≤1

追答

因为 a>1 和 0≤a≤1最值在不同的位置取得。实际上是因为x+a/x>=2√a 取等号的情况是当且仅当x=a/x即x=√a。又由于定义域>=1 故如果0<a<=1 时，√a不在定义域内。故要分类讨论

Answer 2

f(x)=1/[x+(a/x)]
令g(x)=x+a/x
g(x)在[0,√a]单减,[√a,+∞]单增
f(x)在[0,√a]单增,[√a,+∞]单减
当√a≤1即0≤a≤1
f(x)max=f(1)=1/(1+a)=√3/3
a=√3-1
当√a>1,即a>1
f(x)max=f(√a)=1/2√a=√3/3
a=3/4<1舍

追问

为什么要分 a>1 和 0≤a≤1

追答

单调性问题

Answer 3

根号3